5、平时分拿满分，就为了上我的课刷行测？（第1/3页）
“斜率？”
张洪涛微微挑了下眉，不置可否。
这个词确实是前面几节课讲过的，而且对于在场一众学生来说，这个知识点甚至在高中的时候就讲过了。
这，并不属于超纲知识。
但如何用斜率来证明这道题，他们还是很茫然。
都不明白，斜率这玩意儿也能用来证明“解的非唯一性”？
“感觉跟这道题没什么关系啊！”
有人小声嘀咕着。
林枫没有废话，直接在黑板右边画了一个坐标系。
“y'=y^(2/3)，这个方程的意思是，在平面上任意一个点(x，y)处，解曲线经过这个点时的斜率就是y^(2/3)。”
“那我们来看看y=0这条线附近会发生什么。”
他在x轴上方标了几个点，分别标注了对应的斜率值。
“当y=0.1的时候，斜率是0.1^(2/3)≈0.215。”
“当y=0.01的时候，斜率是0.01^(2/3)≈0.046。”
“当y=0.001的时候，斜率是0.001^(2/3)≈0.01。”
他边写边说着：
“大家注意到没有，y越接近0，斜率越接近0。”
“也就是说，在y=0附近，解曲线几乎是平的。”
说到这里，他在坐标系上画了一条沿着x轴趋近的曲线。
“那y=0本身呢？斜率是0^(2/3)=0，完全是平的。”
“所以y恒等于0，也就是x轴本身，它就是一条解曲线，而且斜率处处为零，完全躺在x轴上。”
台下有人嗤笑了一声，但很快又憋了回去。
因为他发现周围所有人都听得全神贯注。
打游戏的不打了，看的不看了，听歌的不听了。
全都沉浸在了林枫的讲解中：
“但问题在于，分离变量法还能解出另一条解曲线y=(x/3)3。”
“这条曲线在x=0的时候，y(0)=0，也经过原点。”
“而且在原点附近，y=(x/3)3的值非常小，对应的斜率y^(2/3)也非常小，和x轴几乎贴在一起。”
说着，他在图上又画出了第二条曲线，从原点出发，缓缓上升。
可以看到，两条曲线在原点处完美重合。
“这，就是问题所在。”
他在两条曲线的交点处画上了一个圆圈。
“在这个点上，两条解曲线的斜率是一样的，都是零。”
“方向场在这个点给不出任何区分，你沿着x轴走可以，你顺着(x/3)3走也可以。”
“方向场在这里分不清该往哪儿走，所以两个解都成立。”
他放下粉笔，目光扫视整个教室，最后又看向张洪涛。
“这就是为什么解不唯一。”
“不是因为方程有什么错误，而是因为在y=0这个点，方程给出的方向指引太模糊了，模糊到两条完全不同的路径都符合要求。”
“用之前您讲过的话来说就是方向场在这个点退化了。”
他的讲解结束了，但整个教室却依旧像是被人按下了暂停键。
没有半点声音！
张洪涛双手抱胸，目光紧紧盯着黑板上的推导过程，眼神复杂。
两条曲线从原点出发，一条贴着x轴躺下，一条缓缓上扬。
交点处一个圆圈，旁边写着“方向场退化”五个字。
简洁。
直观。
漂亮。
如果说前面的利普希茨条件是完美，那刚刚讲的斜率就是极其完美。
“方向场退化……”
他看着，又忍不住念着，语速很慢很慢。
其实，正如林枫猜想的那样，他出这道题也是为了检验前面学过的斜率知识学生们掌握的如何。
但他对于这道题能否解决，并没有抱有希望。
这些年来，他在江阳师范带过的数院学生没有一千也有八百，每年都会出一个类似的变种题，但无一例外，用方向场的几何直觉去解释解的非唯一性，这个思路都想不到。
而且他也没讲过，因为没必要。
考试不考这个角度，学生也理解不了。
他本来想的是，谁要是能想到从斜率出发，那就可以算是做对了，这种数学思维，平时分给个满分也没有什么。
但，林枫不仅给出了利普希茨条件的超纲解法，更是给出了斜率的思路，并且把整个推导过程讲的一清二楚、明明白白。
这真的令他太惊讶了。
没忍住，伸出双手，鼓起掌来。
啪！
啪！
啪！
掌声在安静的教室里显得格外突兀。
“讲得非常好。”
“第一个解法，利普希茨条件，严谨规范，说明你的自学能力很强。”
“第二个解法，方向场的几何解释，直观清晰，说明你真正理解了这道题的本质。”
“林枫是吧？我记住你了！你真的很不错！”
他看着林枫的眼神充满了欣赏。
要知道，张洪涛作为学院派老教师，想要获得他的称赞是很难的，但林枫却接连获得了两句称赞，足以见得前者是多么的认可。
“行了，你回去坐着吧，你的平时分我会给满分的，你放心，我说话算数。”
听到这，林枫点了点头，心中也略微有些激动。
不是因为解出了这道题，而是因为平时分一满，高数这门课就可以不用再操心了，以后甚至上高数课刷行测申论都没问题。
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